Relasi dan Fungsi

 A. RELASI. 

1. Perkalian Himpunan (Produk Cartesius).

Misalnya A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3} maka:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}.

B x A = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b), (1, c), (2, c), (3, c)}.

A x B dibaca “A cross B”.
B x A dibaca “B cross A”.

2. Pengertian Relasi.
Misalnya dalam suatu wawancara tentang kegemaran olahraga beberapa anak kelas 8F diperoleh data sebagai berikut:
► Ivonna menggemari olahraga renang
► Rizki menggemari olahraga tenis
► Alina menggemari olahraga renang
► Nana menggemari olahraga senam
► Gita menggemari olahraga renang

Dari data di atas dapat dibentuk 2 himpunan yaitu:
1. Himpunan bagian siswa kelas 8F
A = {Ivonna, Rizki, Alina, Nana, Gita}
2. Himpunan jenis olahraga
B = {renang, tenis, senam}
Antara himpunan A dan B terdapat hubungan/relasi yaitu “menggemari olahraga”.
Jadi:

Himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakan mempunyai relasi (hubungan) jika ada anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B.

Contoh:
Diketahui A = {4, 6, 8,10} dan B = {2, 3, 4, 5}
a. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B!
b. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan B ke himpunan A!
Jawab:
a. Dari himpunan A dan B didapat:
4 = dua kali 2
6 = dua kali 3
8 = dua kali 4
10 = dua kali 5
Jadi relasi yang mungkin dari A ke B adalah “dua kali dari”.

b. Dari himpunan B ke himpunan A didapat:

2 = setengah dari 4

3 = setengah dari 6

4 = setengah dari 8

5 = setengah dari 10

Jadi relasi yang mungkin dari B ke A adalah “setengah dari”

====================================================

3. Menyatakan Relasi dari Dua Himpunan.

Ada tiga cara menyatakan relasi dua buah himpunan, yaitu dengan himpunan pasangan berurutan, diagram panah, dan grafik Cartesius.

Contoh 1:

► Bagus menggemari olahraga renang

► Tuti menggemari olahraga tenis

► Tiara menggemari olahraga renang

► Reffy menggemari olahraga senam

► Ranti menggemari olahraga renang

Berdasarkan data di atas tentukan:

 a. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

Dari data di atas disusun dua himpunan sebagai berikut:

A = {Bagus, Tuti, Tiara, Reffy, Ranti}

B = {renang, tenis, senam}

a. Himpunan pasangan berurutannya adalah:

{(Bagus, renang), (Tuti, tenis), (Tiara, renang), (Reffy, senam), (Ranti, renang)}

 

Contoh 2: 

Diketahui X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan Y = {1, 2, 3, 4}. Jika relasi dari X ke Y adalah “satu lebihnya dari”, nyatakan relasi tersebut dengan:
a. himpunan pasangan berurutan;

Jawab:
a. himpunan pasangan berurutan = {(2, 1),(3, 2),(4, 3),(5, 4)}

A. PERSAMAAN GARIS (1) 

Sebelum kita membahas lebih mendalam mengenai persamaan garis lurus, coba kalian ingat kembali pengertian persamaan linear satu variabel.

Perhatikan garis lurus pada Gambar 3.2 berikut. Kemudian salin dan lengkapilah tabel pasangan nilai x dan y dari titik-titik yang terletak pada garis itu.

2. Menyatakan Persamaan Garis Jika Grafiknya

Diketahui

a. Persamaan garis y = mx

Untuk menyatakan persamaan garis dari gambar yang diketahui maka kita harus mencari hubungan absis (x) dan ordinat (y) yang dilalui garis tersebut.

B. GRADIEN

Coba kalian perhatikan orang yang sedang naik tangga. Dapatkah kalian menentukan nilai kemiringannya? Jika tangga dianggap sebagai garis lurus maka nilai kemiringan tangga dapat ditentukan dengan cara membandingkan tinggi tembok yang dapat dicapai ujung tangga dengan jarak kaki tangga dari tembok. Nilai kemiringan tangga tersebut disebut gradien. Pada pembahasan ini kita akan membahas cara menentukan gradien dari suatu garis lurus.

C. PERSAMAAN GARIS (2)

Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari cara menentukan persamaan garis y = mx dan y = mx + c jika grafiknya diketahui. Pada bagian ini kalian akan mempelajari secara lebih mendalam mengenai cara menentukan persamaan garis jika grafiknya tidak diketahui. Pelajari uraian berikut ini.

D. MENENTUKAN TITIK POTONG DUA GARIS

Kalian telah mempelajari cara menentukan persamaan garis yang saling sejajar maupun tegak lurus. Dua garis yang sejajar tidak akan pernah berpotongan di satu titik. Sebaliknya, dua garis yang saling tegak lurus pasti berpotongan di satu titik. Dengan tanpa menggambarnya terlebih dahulu, kalian dapat menentukan titik potong dua garis yang tidak sejajar. Pelajari uraian berikut.

readmore »»  

Pengertian Himpunan

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter. 

Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga membentuk sebuah himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan genap membentuk sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.

Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga bukan merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain bukan merupakan himpunan, misalnya ;

a. Kumpulan makanan enak,

b. Kumpulan wanita cantik, dan

c. Kumpulan lukisan indah.

Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah “Δ sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “Ï”. Dengan demikian a Î H, iÎH, u Î H, e Î H, dan o Î H sedangkan b Ï H, c Ï H dan d Ï H. Istilah anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.

Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin.

Himpunan X yang anggota-anggotanya memenuhi sifat P dinotasikan sebagai

X = { x | x bersifat P }.

Notasi ini disebut notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H = { x | x adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda garis tegak “|” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “ atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang digunakan adalah tanda tegak “| ”.

Untuk memperjelas tentang berbagai cara menyatakan himpunan, perhatikan tiga contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama.

a. Himpunan semua bilangan genap positif.

b. { 2, 4, 6, 8, … }

c. { x | x = 2 n , n adalah bilangan asli}.

Masing-masing cara dalam menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya kelebihan cara mendaftar adalah apabila digunakan untuk himpunan yang sedikit anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk menulis himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin didaftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.

Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya anggota himpunan tersebut. Himpunan dikatakan berhingga apabila mempunyai m anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu disebut himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf dalam alfabet Latin, himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua bilangan asli kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan tak berhingga. Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal himpunan H. Notasi tersebut adakalanya ditulis |H|. Jadi apabila H = {a, i, u, e,o} maka n(H) = 5, dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.

Misalkan himpunan I = { x | x Î [0, 1] } dan A adalah himpunan semua bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak berhingga. Dalam hal ini n(I) = ¥ dan juga n(A) = ¥. Himpunan A merupakan himpunan terhitung (countable) karena kita dapat mengurutkan satu persatu anggota-anggotanya. Sedangkan himpunan I merupakan himpunan tak terhitung (uncountable). Akibatnya penulisan lambang ¥ di atas mempunyai kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak terhitung. Seorang matematikawan, Cantor, memberikan notasi yang lebih baik yakni n(A) = À0 (dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c. Simbol À (dibaca aleph ) merupakan huruf pertama dalam alfabet Hebrew.

Adakalanya suatu himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan seperti ini disebut sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { } atau simbol Æ. Tanda Æ merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contoh-contoh himpunan kosong adalah:

a. Himpunan semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter.

b. Himpunan semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

c. { x | x2 + 1 = 0, x adalah bilangan bulat}

d. { x | x2 - 9 = 0, 2x - 4 = 0}

e. { x | x ¹ x }f. H = { x | x Ï H}

Sifat Unsur-Unsur himpunan 

Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat himpunan, adapun sifat dari himpunan adalah

o Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya, misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan sebagainya.

o Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar.

1. Ciri-ciri Himpunan

a. Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan
b. Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan
c. Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

2. Lambang Himpunan

Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ). Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan prima kurang dari 20}.

3. Menyatakan Himpunan

Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan:
a. Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)
b. Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x/x adalah bilangan genap}
c. Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat}

4. Anggota Himpunan

Anggota himpuna disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan menggunakan simbol “E”. Sedang kan yang bukan dilambangkan dengan E coret. Contohnya salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.

readmore »»